図形の性質と証明
定期試験対策テスト 時間 60分 1/14 ページ
点
1
次の空欄に適する語を書きなさい．
1
1点×6
| 空欄に記入 |
2
下図の三角形の中から合同な三角形の組を選び，記号≡を使って表しなさい．また，合同条件を書きなさい． [2L5-00]
2
順不同 完答 2点×3
4cm 40° A B C | 8cm 60° D E F | 9cm G H 13cm I |
9cm J K 13cm L | 4cm 40° M N O | 8cm 60° P Q R |
| (1) | |
| (2) | |
| (3) |
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図形の性質と証明
定期試験対策テスト 2/14 ページ
3
次のことがらについて，逆を答えなさい．また，それが正しい場合には○，間違っている場合には×を（ ）に書きなさい．逆が間違っている場合に反例を書きなさい． [2J0-z3]
3
完答 1点×3
(1) △ABCについて AB＝BC ならば ∠A＝∠C である．
(2) 整数a，bについて，aとbが偶数 ならば a＋bは偶数 である．
(3) x＜y ならば x−6＜y−6 である．
| (1) | 逆： ( ) 反例： |
| (2) | 逆： ( ) 反例： |
| (3) | 逆： ( ) 反例： |
4
次の空欄に適する語を書きなさい．
4
1点×4
▱ABCDについて，∠B＝∠Cのとき，この四角形は
▱ABCDについて，AC＝BD，AC⊥BDのとき，この四角形は| 空欄に記入 |
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定期試験対策テスト 3/14 ページ
5
次の問に答えなさい． [2i0-z0]
5
7点 部分点可
次の図で，AB＝CBならば，∠A＝∠Cであることを証明しなさい．
A
B
C
D
| 空欄に記入 |
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6
次の問に答えなさい． [2i2-z0]
6
7点 部分点可
二等辺三角形ABCの底角∠B，∠Cの二等分線の交点をDとするとき，DB＝DCであることを証明しなさい．
| 余白に記入 |
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7
次の問に答えなさい． [2K1-z1]
7
1点×4
次の図で，∠A＝∠B＝∠Cならば，AB＝BC＝CAであることを証明しなさい．
△ABCで，仮定より
∠A＝∠C ---①
①から，△ABCはCAを底辺とする二等辺三角形なので
AB＝ ---②
また，仮定より
∠B＝∠C ---③
③から，△ABCはBCを底辺とする なので
AB＝ ---④
② ④ から，
AB＝BC＝
A
B
C
△ABCで，仮定より
∠A＝∠C ---①
①から，△ABCはCAを底辺とする二等辺三角形なので
AB＝ ---②
また，仮定より
∠B＝∠C ---③
③から，△ABCはBCを底辺とする なので
AB＝ ---④
② ④ から，
AB＝BC＝
| 余白に記入 |
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定期試験対策テスト 6/14 ページ
8
次の問に答えなさい． [2K2-z0]
8
7点 部分点可
正三角形ABCの辺BC，CA上にそれぞれ点D，Eがあります．BD＝CEであるとき，∠BAD＝∠CBEになることを証明しなさい．
| 余白に記入 |
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9
次の問に答えなさい． [2L3-z1]
9
1点×5
次の図で，∠ADB＝∠CDB，∠A＝∠C＝90°ならば，△ABD≡△CBDであることを証明しなさい．
△ABDと△CBDで
仮定より，
∠ADB＝ ---①
∠A＝ ---②
また，BDは共通だから
BD＝ ---③
①②③ から， ので
△ABD≡
A
B
C
D
△ABDと△CBDで
仮定より，
∠ADB＝ ---①
∠A＝ ---②
また，BDは共通だから
BD＝ ---③
①②③ から， ので
△ABD≡
| 余白に記入 |
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10
次の問に答えなさい． [2L4-z0]
10
7点 部分点可
AB＝ACの二等辺三角形ABCがあります．B，Cから，それぞれAC，ABに垂線BE，CDをひくとき，△DBC≡△ECBであることを証明しなさい．
| 余白に記入 |
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定期試験対策テスト 9/14 ページ
11
次の問に答えなさい． [2M0-z0]
11
7点 部分点可
次の図で，AB//DC，AD//BCならば，AB＝CD，AD＝BCを証明しなさい．
A
B
C
D
| 余白に記入 |
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12
次の問に答えなさい． [2M3-z0]
12
7点 部分点可
次の図の平行四辺形ABCDで，辺BC，辺AD上の点をそれぞれM，Nとする．BM＝DNならば，四角形AMCNは平行四辺形であることを証明しなさい．
A
B
C
D
M
N
| 余白に記入 |
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13
次の問に答えなさい． [2N2-z0]
13
7点 部分点可
次の▱ABCDがAC⊥BDであるとき，▱ABCDはひし形となることを証明しなさい．
| 余白に記入 |
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14
次の問に答えなさい． [2P0-z1]
14
1点×4
次の図で，△PAB＝△QABであるとき，PQ//ABとなることを証明しなさい．
仮定より，
△PAB＝
を共通な底辺とみると，高さは等しいので
PH＝
よって
仮定より，
△PAB＝
を共通な底辺とみると，高さは等しいので
PH＝
よって
| 余白に記入 |
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定期試験対策テスト 13/14 ページ
15
次の問に答えなさい． [2P3-z0]
15
7点 部分点可
次の図で，DE//BCであるとき，△ABE＝△ACDとなることを証明しなさい．
| 余白に記入 |
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定期試験対策テスト 14/14 ページ
16
次の問に答えなさい． [2P2-z0]
16
完答 6点
四角形ABCDで，AD//BCのとき，面積が等しい三角形の組をすべて見つけなさい．
17
次の問に答えなさい． [2P1-z0]
17
6点
四角形ABCDが折れ線EFGで２つの部分ア，イに分かれています．点Eを通りそれぞれの部分の面積を変えないような直線を三角定規を使って描きなさい．
A
B
C
D
E
F
G
(ア)
(イ)
| 図に記入 |
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【解答例】
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1
次の空欄に適する語を書きなさい．
1
1点×6
| 空欄に記入 |
2
下図の三角形の中から合同な三角形の組を選び，記号≡を使って表しなさい．また，合同条件を書きなさい． [2L5-00]
2
順不同 完答 2点×3
4cm 40° A B C | 8cm 60° D E F | 9cm G H 13cm I |
9cm J K 13cm L | 4cm 40° M N O | 8cm 60° P Q R |
| (1) | △DEF≡△PQR １組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい |
| (2) | △GHI≡△JKL 直角三角形の斜辺と他の１辺がそれぞれ等しい |
| (3) | △ABC≡△MNO 直角三角形の斜辺と１つの鋭角がそれぞれ等しい． |
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【解答例】
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3
次のことがらについて，逆を答えなさい．また，それが正しい場合には○，間違っている場合には×を（ ）に書きなさい．逆が間違っている場合に反例を書きなさい． [2J0-z3]
3
完答 1点×3
(1) △ABCについて AB＝BC ならば ∠A＝∠C である．
(2) 整数a，bについて，aとbが偶数 ならば a＋bは偶数 である．
(3) x＜y ならば x−6＜y−6 である．
| (1) | 逆：△ABCについて ∠A＝∠C ならば AB＝BC である． （○） 反例： |
| (2) | 逆：整数a，bについて，a＋bが偶数 ならば aとbは偶数 である． （×） 反例：a＝1，b＝3の場合 |
| (3) | 逆：x−6＜y−6 ならば x＜y である． （○） 反例： |
4
次の空欄に適する語を書きなさい．
4
1点×4
| 空欄に記入 |
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【解答例】
定期試験対策テスト 3/14 ページ
5
次の問に答えなさい． [2i0-z0]
5
7点 部分点可
次の図で，AB＝CBならば，∠A＝∠Cであることを証明しなさい．
ACの中点を点Dとおく
△ABDと△CBDで
点DはACの中点なので
AD＝CD ---①
仮定より，
AB＝CB ---②
また，BDは共通だから
BD＝BD ---③
① ② ③ から， ３組の辺がそれぞれ等しい ので
△ABD≡△CBD
合同な図形では 対応する角の大きさは等しいので
∠A＝∠C
A
B
C
D
ACの中点を点Dとおく
△ABDと△CBDで
点DはACの中点なので
AD＝CD ---①
仮定より，
AB＝CB ---②
また，BDは共通だから
BD＝BD ---③
① ② ③ から， ３組の辺がそれぞれ等しい ので
△ABD≡△CBD
合同な図形では 対応する角の大きさは等しいので
∠A＝∠C
| 空欄に記入 |
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【解答例】
定期試験対策テスト 4/14 ページ
6
次の問に答えなさい． [2i2-z0]
6
7点 部分点可
二等辺三角形ABCの底角∠B，∠Cの二等分線の交点をDとするとき，DB＝DCであることを証明しなさい．
仮定より
二等辺三角形の２つの底角は等しいので
∠ABC＝∠ACB ---③
①②③より
∠DBC＝∠DCB
２つの角が等しい三角形は二等辺三角形であるから
DB＝DC
仮定より
| 1 | ---① | |||||
| ∠DBC | = | ∠ABC | ||||
| 2 | ||||||
| 1 | ---② | |||||
| ∠DCB | = | ∠ACB | ||||
| 2 | ||||||
∠ABC＝∠ACB ---③
①②③より
∠DBC＝∠DCB
２つの角が等しい三角形は二等辺三角形であるから
DB＝DC
| 余白に記入 |
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【解答例】
定期試験対策テスト 5/14 ページ
7
次の問に答えなさい． [2K1-z1]
7
1点×4
次の図で，∠A＝∠B＝∠Cならば，AB＝BC＝CAであることを証明しなさい．
△ABCで，仮定より
∠A＝∠C ---①
①から，△ABCはCAを底辺とする二等辺三角形なので
AB＝ BC ---②
また，仮定より
∠B＝∠C ---③
③から，△ABCはBCを底辺とする 二等辺三角形 なので
AB＝ CA ---④
② ④ から，
AB＝BC＝ CA
A
B
C
△ABCで，仮定より
∠A＝∠C ---①
①から，△ABCはCAを底辺とする二等辺三角形なので
AB＝ BC ---②
また，仮定より
∠B＝∠C ---③
③から，△ABCはBCを底辺とする 二等辺三角形 なので
AB＝ CA ---④
② ④ から，
AB＝BC＝ CA
| 余白に記入 |
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【解答例】
定期試験対策テスト 6/14 ページ
8
次の問に答えなさい． [2K2-z0]
8
7点 部分点可
正三角形ABCの辺BC，CA上にそれぞれ点D，Eがあります．BD＝CEであるとき，∠BAD＝∠CBEになることを証明しなさい．
△ABDと△BCEで
仮定より
BD＝CE ---①
△ABCは正三角形だから，
AB＝BC ---②
∠ABD＝∠BCE＝60° ---③
①②③より，２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので
△ABD≡△BCE
合同な図形では，対応する角は等しいので
∠BAD＝∠CBE
△ABDと△BCEで
仮定より
BD＝CE ---①
△ABCは正三角形だから，
AB＝BC ---②
∠ABD＝∠BCE＝60° ---③
①②③より，２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので
△ABD≡△BCE
合同な図形では，対応する角は等しいので
∠BAD＝∠CBE
| 余白に記入 |
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【解答例】
定期試験対策テスト 7/14 ページ
9
次の問に答えなさい． [2L3-z1]
9
1点×5
次の図で，∠ADB＝∠CDB，∠A＝∠C＝90°ならば，△ABD≡△CBDであることを証明しなさい．
△ABDと△CBDで
仮定より，
∠ADB＝ ∠CDB ---①
∠A＝ ∠C ---②
また，BDは共通だから
BD＝ BD ---③
①②③ から， 直角三角形の斜辺と１つの鋭角がそれぞれ等しい ので
△ABD≡ △CBD
A
B
C
D
△ABDと△CBDで
仮定より，
∠ADB＝ ∠CDB ---①
∠A＝ ∠C ---②
また，BDは共通だから
BD＝ BD ---③
①②③ から， 直角三角形の斜辺と１つの鋭角がそれぞれ等しい ので
△ABD≡ △CBD
| 余白に記入 |
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【解答例】
定期試験対策テスト 8/14 ページ
10
次の問に答えなさい． [2L4-z0]
10
7点 部分点可
AB＝ACの二等辺三角形ABCがあります．B，Cから，それぞれAC，ABに垂線BE，CDをひくとき，△DBC≡△ECBであることを証明しなさい．
△DBCと△ECBで
仮定より
∠BDC＝∠CEB＝90° ---①
△ABCは二等辺三角形なので
∠DBC＝∠ECB ---②
BCは共通なので
BC＝CB ---③
①②③より，直角三角形の斜辺と１つの鋭角がそれぞれ等しいので
△DBC≡△ECB
△DBCと△ECBで
仮定より
∠BDC＝∠CEB＝90° ---①
△ABCは二等辺三角形なので
∠DBC＝∠ECB ---②
BCは共通なので
BC＝CB ---③
①②③より，直角三角形の斜辺と１つの鋭角がそれぞれ等しいので
△DBC≡△ECB
| 余白に記入 |
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【解答例】
定期試験対策テスト 9/14 ページ
11
次の問に答えなさい． [2M0-z0]
11
7点 部分点可
次の図で，AB//DC，AD//BCならば，AB＝CD，AD＝BCを証明しなさい．
△ABCと△CDAで
平行線の錯角は等しいので
AB//DCから
∠BAC＝∠DCA ---①
AD//BCから
∠DAC＝∠BCA ---②
また，ACは共通だから
AC＝CA ---③
①②③ から，１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので
△ABC≡△CDA
合同な図形では 対応する辺の大きさは等しいので
AB＝CD，BC＝DA
A
B
C
D
△ABCと△CDAで
平行線の錯角は等しいので
AB//DCから
∠BAC＝∠DCA ---①
AD//BCから
∠DAC＝∠BCA ---②
また，ACは共通だから
AC＝CA ---③
①②③ から，１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので
△ABC≡△CDA
合同な図形では 対応する辺の大きさは等しいので
AB＝CD，BC＝DA
| 余白に記入 |
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【解答例】
定期試験対策テスト 10/14 ページ
12
次の問に答えなさい． [2M3-z0]
12
7点 部分点可
次の図の平行四辺形ABCDで，辺BC，辺AD上の点をそれぞれM，Nとする．BM＝DNならば，四角形AMCNは平行四辺形であることを証明しなさい．仮定より，BM＝DN ---①
平行四辺形の向かい合う辺は等しいので
BC＝AD ---②
① ② から，
CM＝NA ---③
また，平行四辺形の向かい合う辺は平行だから
CM//NA ---④
③ ④ から，
１組の向かい合う辺が等しく平行な四角形は平行四辺形である
A
B
C
D
M
N
平行四辺形の向かい合う辺は等しいので
BC＝AD ---②
① ② から，
CM＝NA ---③
また，平行四辺形の向かい合う辺は平行だから
CM//NA ---④
③ ④ から，
１組の向かい合う辺が等しく平行な四角形は平行四辺形である
| 余白に記入 |
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【解答例】
定期試験対策テスト 11/14 ページ
13
次の問に答えなさい． [2N2-z0]
13
7点 部分点可
次の▱ABCDがAC⊥BDであるとき，▱ABCDはひし形となることを証明しなさい．
△ABOと△ADOで，仮定より
∠AOB＝∠AOD＝90° ---①
AOは共通だから
AO＝AO ---②
平行四辺形の性質より
BO＝DO ---③
① ② ③ から，２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので
△ABO≡△ADO
合同な図形では 対応する辺は等しいので
AB＝AD ---④
平行四辺形の向かい合う辺は等しいから，④より，４つの辺はすべて等しくなる．したがって，四角形ABCDはひし形である．
△ABOと△ADOで，仮定より
∠AOB＝∠AOD＝90° ---①
AOは共通だから
AO＝AO ---②
平行四辺形の性質より
BO＝DO ---③
① ② ③ から，２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので
△ABO≡△ADO
合同な図形では 対応する辺は等しいので
AB＝AD ---④
平行四辺形の向かい合う辺は等しいから，④より，４つの辺はすべて等しくなる．したがって，四角形ABCDはひし形である．
| 余白に記入 |
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【解答例】
定期試験対策テスト 12/14 ページ
14
次の問に答えなさい． [2P0-z1]
14
1点×4
次の図で，△PAB＝△QABであるとき，PQ//ABとなることを証明しなさい．
仮定より，
△PAB＝ △QAB
AB を共通な底辺とみると，高さは等しいので
PH＝ QK
よって
AB//PQ
仮定より，
△PAB＝ △QAB
AB を共通な底辺とみると，高さは等しいので
PH＝ QK
よって
AB//PQ
| 余白に記入 |
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【解答例】
定期試験対策テスト 13/14 ページ
15
次の問に答えなさい． [2P3-z0]
15
7点 部分点可
次の図で，DE//BCであるとき，△ABE＝△ACDとなることを証明しなさい．
△ABEは，△ADEと△DBEに分けられるので
△ABE＝△ADE＋△DBE ---①
△ADCは，△ADEと△DCEに分けられるので
△ADC＝△ADE＋△DCE ---②
DE//BCなので
△DEB＝△DCE ---③
①②③より
△ABE＝△ADC
△ABEは，△ADEと△DBEに分けられるので
△ABE＝△ADE＋△DBE ---①
△ADCは，△ADEと△DCEに分けられるので
△ADC＝△ADE＋△DCE ---②
DE//BCなので
△DEB＝△DCE ---③
①②③より
△ABE＝△ADC
| 余白に記入 |
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