(1) 次の図で，∠xの大きさを求めなさい．   [340-00]

(2) 次の図で，∠xの大きさを求めなさい．   [340-01]

(3) 次の図で，∠xの大きさを求めなさい．   [340-02]

(1)
(2)
(3)

次の図の円Oで，直径ABと，ABを除く円周上に点Pがあるとき，∠APB＝90°であることを証明しなさい．

△OPAと△OPBは二等辺三角形だから，それぞれの底角を∠x，∠yとすると，
    △OPAで，  ∠BOP＝              ---①
    △OPBで，  ∠AOP＝              ---②

∠BOP＋∠AOP＝180°なので，
① ② から，          ＋          ＝180°

また，∠APB＝∠x＋∠yだから，

    ∠APB＝        

空欄に記入

(1) １つの円で，円周の

		1
		3

の大きさの弧に対する円周角は何度ですか．   [342-00]

(2) 次の図で，∠xの大きさを求めなさい．   [343-00]

(3) 次の図で，∠x，∠yの大きさを求めなさい．   [341-00]

(1)
(2)
(3)	∠x＝ ∠y＝

次の(ア)〜(エ)で，４点A，B，C，Dが同じ円周上にあるものを選びなさい．

(ア) D C A B 36° 47° 53° 53°	(イ) D C A B 40° 70° 43° 45°
(ウ) D C A B	(エ) D C A B 44° 65° 48° 18°

(1) 次の図のように，３点A，B，Cがあります．直線ABについて点Cと反対側に，AB⊥CP，∠APB＝30°となる点Pを作図しなさい．   [360-00]

(2) 点Aを通る円Oの接線を作図しなさい．   [361-00]

(1) 次の図で，∠xの大きさを求めなさい．   [344-00]

(2) 次の図で，∠xの大きさを求めなさい．   [344-01]

(3) 次の図で，∠xの大きさを求めなさい．   [344-02]

(1)
(2)
(3)

(1) 次の図で，∠x，∠yの大きさを求めなさい．   [344-03]

(2) 次の図で，∠x，∠yの大きさを求めなさい．   [344-04]

(3) 次の図で，∠x，∠yの大きさを求めなさい．   [351-00]

(1)	∠x＝ ∠y＝
(2)	∠x＝ ∠y＝
(3)	∠x＝ ∠y＝

(1) 次の図で，∠xの大きさを求めなさい．   [344-05]

(2) 次の図のように，１つの円で円周を5等分する点があります．このとき，∠xの大きさを求めなさい．   [344-06]

(1)
(2)

次の図のように，２つの弦ABとCDが，円内の点Pで交わっているとき，△PAC∽△PDBであることを証明しなさい．

余白に記入

次の図のように，円周上に４点A，B，C，Dがあります． _AB^︵ ＝ _CD^︵ ならば，AD//BCであることを証明しなさい．

余白に記入

次の図のように，円周上に４点A，B，C，Dがあります． _BD^︵ ＝ _CD^︵ のとき，△ABD∽△AECであることを証明しなさい．また，ADとBCの交点をEとする．

余白に記入

(1) 次の図で，∠xの大きさを求めなさい．   [340-00]

∠x	= 2 ∠APB
∠x	= 2 × 75 = 150

(2) 次の図で，∠xの大きさを求めなさい．   [340-01]

(3) 次の図で，∠xの大きさを求めなさい．   [340-02]

∠x	1    = ∠AOB    2
∠x	1    = × 82 = 41    2

(1)	150°
(2)	90°
(3)	41°

次の図の円Oで，直径ABと，ABを除く円周上に点Pがあるとき，∠APB＝90°であることを証明しなさい．

△OPAと△OPBは二等辺三角形だから，それぞれの底角を∠x，∠yとすると，
    △OPAで，  ∠BOP＝ 2∠x     ---①
    △OPBで，  ∠AOP＝ 2∠y     ---②

∠BOP＋∠AOP＝180°なので，
① ② から， 2∠x ＋ 2∠y ＝180°

また，∠APB＝∠x＋∠yだから，

    ∠APB＝ 90° 

空欄に記入

(1) １つの円で，円周の

		1
		3

の大きさの弧に対する円周角は何度ですか．   [342-00]

中心角				1					°
		∠y	=		×	360	=	120
				3

円周角				1				°
		∠x	=		∠y	=	60
				2

(2) 次の図で，∠xの大きさを求めなさい．   [343-00]

(3) 次の図で，∠x，∠yの大きさを求めなさい．   [341-00]

(1)	60°
(2)	25°
(3)	∠x＝44° ∠y＝35°

次の(ア)〜(エ)で，４点A，B，C，Dが同じ円周上にあるものを選びなさい．

(ア) D C A B 36° 47° 53° 53°	(イ) D C A B 40° 70° 43° 45°
(ウ) D C A B	(エ) D C A B 44° 65° 48° 18° 23°

(ア) (ウ)

(1) 次の図のように，３点A，B，Cがあります．直線ABについて点Cと反対側に，AB⊥CP，∠APB＝30°となる点Pを作図しなさい．   [360-00]


1. 点Cを通る線分ABの垂線lをひく

2. △ABOが正三角形になるような点Oを，直線ABについて点Cと反対側にかく

3. 点Oを中心に，AOを半径とする円Oをかく

直線lと円Oの交点のうち，直線ABについて点Oと同じ側にある点が，求める点Pである．

(2) 点Aを通る円Oの接線を作図しなさい．   [361-00]

(1) 次の図で，∠xの大きさを求めなさい．   [344-00]

		中心角	=	2	∠APB	=	2	×	127	=	254

		∠x	=	360	−	254	=	106

(2) 次の図で，∠xの大きさを求めなさい．   [344-01]∠APB＝90°だから

∠APO

=

∠APB

−

∠BPO

=

90

−

33

=

57

△AOPは二等辺三角形なので

		∠x	=	∠APO	=	57

(3) 次の図で，∠xの大きさを求めなさい．   [344-02] _QB^︵ に対する円周角は等しいから

		∠QAB	=	∠QPB	=	28

∠APB＝90°なので

∠x

=

∠APB

−

∠QPB

=

90

−

28

=

62

(1)	106°
(2)	57°
(3)	62°

(1) 次の図で，∠x，∠yの大きさを求めなさい．   [344-03]

		中心角	=	2	∠APB	=	2	×	121	=	242

		∠x	=	360	−	242	=	118

				1
		∠y	=		∠x	=	59
				2

(2) 次の図で，∠x，∠yの大きさを求めなさい．   [344-04]

		∠y	=	2	∠CQD	=	2	×	30	=	60

(3) 次の図で，∠x，∠yの大きさを求めなさい．   [351-00]∠ABD＝∠ACDから，円周角の定理の逆より４点A，B，C，Dは同じ円周上にある．
_AB^︵ に対する 円周角は等しいから，∠ADB＝∠ACB

(1)	∠x＝118° ∠y＝59°
(2)	∠x＝30° ∠y＝60°
(3)	∠x＝38° ∠y＝48°

(1) 次の図で，∠xの大きさを求めなさい．   [344-05]同じ弧に対する円周角の大きさは等しいので，
    ∠AFB＝∠AEB
    ∠BDC＝∠BEC

よって
		∠x	=	28	＋	13	=	41

(2) 次の図のように，１つの円で円周を5等分する点があります．このとき，∠xの大きさを求めなさい．   [344-06]

∠ACDは，弧ADに対する円周角だから

				1				360			°
		∠ACD	=		×	1	×		=	36
				2				5

∠BDCは，弧BCに対する円周角だから

				1				360			°
		∠BDC	=		×	1	×		=	36
				2				5

△CDFの内角の和は，180°なので

											°
		∠x	=	180	−	∠ACD	−	∠BDC	=	108

(1)	41°
(2)	°   108

次の図のように，２つの弦ABとCDが，円内の点Pで交わっているとき，△PAC∽△PDBであることを証明しなさい．

△PACと△PDBで，
 _CB^︵ に対する円周角は等しいから，
      ∠CAP＝∠BDP    ---①
 _AD^︵ に対する円周角は等しいから，
      ∠ACP＝∠DBP    ---②

① ② から，２組の角が，それぞれ等しいので，
    △PAC∽△PDB

余白に記入

次の図のように，円周上に４点A，B，C，Dがあります． _AB^︵ ＝ _CD^︵ ならば，AD//BCであることを証明しなさい．

仮定より，
     _AB^︵ ＝ _CD^︵     ---①

 _AB^︵ に対する円周角∠ACBと， _CD^︵ に対する円周角∠CADについて，
等しい弧に対する円周角は等しいから，①より
    ∠ACB＝∠CAD    ---②

②より，平行線の錯角は等しいから，
    AD//BC

余白に記入

次の図のように，円周上に４点A，B，C，Dがあります． _BD^︵ ＝ _CD^︵ のとき，△ABD∽△AECであることを証明しなさい．また，ADとBCの交点をEとする．

△ABDと△AECで，
仮定より， _BD^︵ ＝ _CD^︵ 
等しい弧に対する円周角は等しいから，
    ∠BAD＝∠EAC    ---①

また， _AB^︵ に対する円周角は等しいから，
      ∠ADB＝∠ACE    ---②

① ② から，２組の角が，それぞれ等しいので，
    △ABD∽△AEC

余白に記入