(1) 次の図で，∠xの大きさを求めなさい．   [340-00]

(2) 次の図で，∠xの大きさを求めなさい．   [340-01]

(3) 次の図で，∠xの大きさを求めなさい．   [340-02]

(1)
(2)
(3)

次の図の円Oで， _AB^︵ を除く円周上に点Pがあるとき，∠AOB＝2∠APBであることを証明しなさい．なお，PKは円Oの直径．

△OPAと△OPBは二等辺三角形だから，それぞれの底角を∠x，∠yとすると，
    △OPAで，  ∠AOK＝              ---①
    △OPBで，  ∠BOK＝              ---②

∠AOB＝∠BOKー∠AOKなので，
① ② から，∠AOB＝          ー          

また，∠APB＝∠yー∠xだから，

    ∠AOB＝      ∠APB

空欄に記入

(1) １つの円で，円周の

		1
		2

の大きさの弧に対する円周角は何度ですか．   [342-00]

(2) 次の図で，∠xの大きさを求めなさい．   [343-00]

(3) 次の図で，∠x，∠yの大きさを求めなさい．   [341-00]

(1)
(2)
(3)	∠x＝ ∠y＝

次の(ア)〜(エ)で，４点A，B，C，Dが同じ円周上にあるものを選びなさい．

(ア) D C A B 44° 75° 25° 25°	(イ) D C A B 36° 80° 25° 39°
(ウ) D C A B 42° 69° 31° 26°	(エ) D C A B

(1) 次の図のように，３点A，B，Cがあります．直線ABについて点Cと反対側に，AB⊥CP，∠APB＝45°となる点Pを作図しなさい．   [360-00]

(2) 点Aを通る円Oの接線を作図しなさい．   [361-00]

(1) 次の図で，∠xの大きさを求めなさい．   [344-00]

(2) 次の図で，∠xの大きさを求めなさい．   [344-01]

(3) 次の図で，∠xの大きさを求めなさい．   [344-02]

(1)
(2)
(3)

(1) 次の図で，∠x，∠yの大きさを求めなさい．   [344-03]

(2) 次の図で，∠x，∠yの大きさを求めなさい．   [344-04]

(3) 次の図で，∠x，∠yの大きさを求めなさい．   [351-00]

(1)	∠x＝ ∠y＝
(2)	∠x＝ ∠y＝
(3)	∠x＝ ∠y＝

(1) 次の図で，∠xの大きさを求めなさい．   [344-05]

(2) PA，PBは，円Oの接線です．∠xの大きさを求めなさい．   [344-07]

(1)
(2)

次の図のように，２つの弦ABとCDが，円内の点Pで交わっているとき，△PAC∽△PDBであることを証明しなさい．

余白に記入

次の図で，△ABE∽△ACDであることを証明しなさい．

余白に記入

次の図のように，円周上の３点A，B，Cを頂点とする△ABCがあります．∠BACの二等分線が辺BC， _BC^︵ と交わる点を，それぞれ，D，Eとするとき，△ABE∽△BDEであることを証明しなさい．

余白に記入

(1) 次の図で，∠xの大きさを求めなさい．   [340-00]

∠x	= 2 ∠APB
∠x	= 2 × 56 = 112

(2) 次の図で，∠xの大きさを求めなさい．   [340-01]

(3) 次の図で，∠xの大きさを求めなさい．   [340-02]

∠x	1    = ∠AOB    2
∠x	1    = × 94 = 47    2

(1)	112°
(2)	90°
(3)	47°

次の図の円Oで， _AB^︵ を除く円周上に点Pがあるとき，∠AOB＝2∠APBであることを証明しなさい．なお，PKは円Oの直径．

△OPAと△OPBは二等辺三角形だから，それぞれの底角を∠x，∠yとすると，
    △OPAで，  ∠AOK＝ 2∠x     ---①
    △OPBで，  ∠BOK＝ 2∠y     ---②

∠AOB＝∠BOKー∠AOKなので，
① ② から，∠AOB＝ 2∠y ー 2∠x 

また，∠APB＝∠yー∠xだから，

    ∠AOB＝ 2 ∠APB

空欄に記入

(1) １つの円で，円周の

		1
		2

の大きさの弧に対する円周角は何度ですか．   [342-00]

中心角				1					°
		∠y	=		×	360	=	180
				2

円周角				1				°
		∠x	=		∠y	=	90
				2

(2) 次の図で，∠xの大きさを求めなさい．   [343-00]

(3) 次の図で，∠x，∠yの大きさを求めなさい．   [341-00]

(1)	90°
(2)	34°
(3)	∠x＝39° ∠y＝40°

次の(ア)〜(エ)で，４点A，B，C，Dが同じ円周上にあるものを選びなさい．

(ア) D C A B 44° 75° 25° 25°	(イ) D C A B 36° 80° 25° 39° 25°
(ウ) D C A B 42° 69° 31° 26°	(エ) D C A B

(ア) (イ) (エ)

(1) 次の図のように，３点A，B，Cがあります．直線ABについて点Cと反対側に，AB⊥CP，∠APB＝45°となる点Pを作図しなさい．   [360-00]


1. 点Cを通る線分ABの垂線lをひく

2. ∠BAD＝90°である直角二等辺三角形ABDをかく

3. BDの中点Oをとり，DOを半径とする円Oをかく

直線lと円Oの交点のうち，直線ABについて点Dと同じ側にある点が，求める点Pである．

(2) 点Aを通る円Oの接線を作図しなさい．   [361-00]

(1) 次の図で，∠xの大きさを求めなさい．   [344-00]

		中心角	=	360	−	86	=	274

				1
		∠x	=		×	274	=	137
				2

(2) 次の図で，∠xの大きさを求めなさい．   [344-01]△BOPは二等辺三角形なので

		∠BPO	=	∠PBO	=	53

∠APB＝90°だから

∠x

=

∠APB

−

∠BPO

=

90

−

53

=

37

(3) 次の図で，∠xの大きさを求めなさい．   [344-02]∠APB＝90°なので

∠QPB

=

∠APB

−

∠APQ

=

90

−

55

=

35

 _QB^︵ に対する円周角は等しいから

		∠x	=	∠QAB	=	∠QPB	=	35

(1)	137°
(2)	37°
(3)	35°

(1) 次の図で，∠x，∠yの大きさを求めなさい．   [344-03]

		中心角	=	2	∠APB	=	2	×	124	=	248

		∠x	=	360	−	248	=	112

				1
		∠y	=		∠x	=	56
				2

(2) 次の図で，∠x，∠yの大きさを求めなさい．   [344-04]

		∠y	=	2	∠CQD	=	2	×	29	=	58

(3) 次の図で，∠x，∠yの大きさを求めなさい．   [351-00]∠ABD＝∠ACDから，円周角の定理の逆より４点A，B，C，Dは同じ円周上にある．
_AB^︵ に対する 円周角は等しいから，∠ADB＝∠ACB

(1)	∠x＝112° ∠y＝56°
(2)	∠x＝29° ∠y＝58°
(3)	∠x＝38° ∠y＝65°

(1) 次の図で，∠xの大きさを求めなさい．   [344-05]同じ弧に対する円周角の大きさは等しいので，
    ∠AFB＝∠AEB
    ∠BDC＝∠BEC

よって
		∠x	=	32	＋	36	=	68

(2) PA，PBは，円Oの接線です．∠xの大きさを求めなさい．   [344-07]

°

∠AOB

=

2

∠ACB

=

2

×

67

=

134

PA，PBは，円Oの接線だから，PA⊥OA，PB⊥OB．
したがって，四角形APBOの内角の和は，

∠x ＋ ∠AOB ＋ 2 × 90	= 360
∠x	= 360 − ( 134 ＋ 2 × 90 )
∠x	= 46

(1)	68°
(2)	°   46

次の図のように，２つの弦ABとCDが，円内の点Pで交わっているとき，△PAC∽△PDBであることを証明しなさい．

△PACと△PDBで，
 _CB^︵ に対する円周角は等しいから，
      ∠CAP＝∠BDP    ---①
 _AD^︵ に対する円周角は等しいから，
      ∠ACP＝∠DBP    ---②

① ② から，２組の角が，それぞれ等しいので，
    △PAC∽△PDB

余白に記入

次の図で，△ABE∽△ACDであることを証明しなさい．

△ABEと△ACDで，
 _DE^︵ に対する円周角は等しいから，
      ∠ABE＝∠ACD    ---①

また，共通だから，
      ∠BAE＝∠CAD    ---②

① ② から，２組の角が，それぞれ等しいので，
    △ABE∽△ACD

余白に記入

次の図のように，円周上の３点A，B，Cを頂点とする△ABCがあります．∠BACの二等分線が辺BC， _BC^︵ と交わる点を，それぞれ，D，Eとするとき，△ABE∽△BDEであることを証明しなさい．

△ABEと△BDEで，
仮定より，
    ∠BAE＝∠EAC

 _EC^︵ に対する円周角は等しいから，
      ∠EAC＝∠DBE
したがって，
      ∠BAE＝∠DBE    ---①

また，
      ∠AEB＝∠BED    ---②

① ② から，２組の角が，それぞれ等しいので，
    △ABE∽△BDE

余白に記入